导航菜单

2020年高考加油,每日一题28:立体几何有关的典型例题

pt老虎机在线平台

  18:30:26吴国平数学教育

典型的例子分析1:

如图所示,在四角锥P-ABCD中,ABCD是矩形,PA⊥PD,平面PAD⊥平面ABCD,AB=6,AD=4,PA=PD,E位PC的中点

(I)证明:平面PAB⊥平面PCD

(II)F是底面ABCD上的点。当EF∥平面PAD时,找到由EF和平面PBC形成的角度的正弦的最大值。

证明:(I)∵四边形ABCD是矩形,∴CD⊥AD,

∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD?飞机ABCD,

∴CD⊥PlanPAD,∵PA?飞机PAD,

∴CD⊥PA,PD⊥PA,PD?平面PCD,CD?平面PCD,PD∩CD=D,

∴PA⊥planePCD和PA?平面PAB,

∴平面PAB⊥平面PCD。

(II)取AB,CD中点M,N,链路MN,EN,ME。

∵E是PC的中点,四边形ABCD是矩形,

∴EN∥PD,MN∥AD,

∴平面MNE∥平面PAD,

∵EF∥PlanePAD,

∴F在线段MN。

取AD的中点O,连接OP,

∵PA=PD,∴PO⊥AD。

∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,

∴PO⊥飞机ABCD。

在O是x轴⊥AD之后,以O为原点,

Ox,OD,OP为坐标轴建立空间笛卡尔坐标系,如图所示:

∵PA=PD,PA⊥PD,AD=4,

∴PO=2,

∴P(0,0,2),B(6,-2,0),C(6,2,0),E(3,1。1),

设F(3,y0,0),然后y0∈[-2,2]。

测试现场分析:

由线和平面形成的角度;飞机垂直于飞机。

问题分析:

(I)CD⊥平面PAD是从面的垂直属性获得的,因此CD⊥PA与PA⊥PD结合,得到PA⊥平面PCD,因此平面PAB⊥平面PCD;

(II)取AB,CD中点M,N,连接MN,EN,ME,然后证明平面MNE∥平面PAD,所以在线段MN上点F,取AD的中点O,连接OP,到O创建一个空格原点的笛卡尔坐标系,找到平面PBC的法向量,并计算| cos <,> |的最大值。

典型的例子分析2:

如图所示,在四角锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PD⊥底面ABCD,PD=1,PB=PC=BC=√2,点E和F是PA和BC的中点分别。

(I)证明:EF∥PlanarPCD;

(II)证明:PB⊥CD;

(III)求出二面角A-PB-C的余弦。

证明:(I)取AD中点O,连接EO,FO,

点E和F分别是PA和BC的中点。

∴OE∥PD,FO∥CD,

∵OE∩FO=O,PD∩CD=D,

OE,FO?计划EOF,PD,CD?飞机PDC,

∴平面EOF∥平面PDC,

∵EF?计划EOF,

∴EF∥planePCD。

(II)在四边形金字塔P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PD⊥底面ABCD,PD=1,PB=PC=BC=√2,

∴PD⊥CD,PB⊥BD和BD=CD=√(2-1)=1,

∴BD2+ CD2=BC2,

∴BD⊥CD,

∵BD∩CD=d,

∴CD⊥PBD,

∵PB?平面PBD,

∴PB⊥PD。

解答:(III)以D为原点,DB为x轴,DC为y轴,DP为z轴,建立空间笛卡尔坐标系,

A(-1,1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,1),

测试现场分析:

二面角的平面角度及其找到方法;确定平行于平面的直线。

问题分析;

(I)取AD的中点O,连接EO,FO,并导出OE∥PD,FO∥CD,从而得到平面EOF∥平面PDC,它可以证明EF∥平面PCD。

(II)导出PD⊥CD,PB⊥BD和BD=CD=1,因此BD⊥CD,然后CD⊥PBD,这可以证明PB⊥PD。

(III)以D为原点,DB为x轴,DC为y轴,DP为z轴,建立空间直角坐标系。二面角A-PB-C的余弦可以通过矢量方法获得。

典型的例子分析1:

如图所示,在四角锥P-ABCD中,ABCD是矩形,PA⊥PD,平面PAD⊥平面ABCD,AB=6,AD=4,PA=PD,E位PC的中点

(I)证明:平面PAB⊥平面PCD

(II)F是底面ABCD上的点。当EF∥平面PAD时,找到由EF和平面PBC形成的角度的正弦的最大值。

证明:(I)∵四边形ABCD是矩形,∴CD⊥AD,

∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD?飞机ABCD,

∴CD⊥PlanPAD,∵PA?飞机PAD,

∴CD⊥PA,PD⊥PA,PD?平面PCD,CD?平面PCD,PD∩CD=D,

∴PA⊥planePCD和PA?平面PAB,

∴平面PAB⊥平面PCD。

(II)取AB,CD中点M,N,链路MN,EN,ME。

∵E是PC的中点,四边形ABCD是矩形,

∴EN∥PD,MN∥AD,

∴平面MNE∥平面PAD,

∵EF∥PlanePAD,

∴F在线段MN。

取AD的中点O,连接OP,

∵PA=PD,∴PO⊥AD。

∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,

∴PO⊥飞机ABCD。

在O是x轴⊥AD之后,以O为原点,

Ox,OD,OP为坐标轴建立空间笛卡尔坐标系,如图所示:

∵PA=PD,PA⊥PD,AD=4,

∴PO=2,

∴P(0,0,2),B(6,-2,0),C(6,2,0),E(3,1。1),

设F(3,y0,0),然后y0∈[-2,2]。

测试现场分析:

由线和平面形成的角度;飞机垂直于飞机。

问题分析:

(I)CD⊥平面PAD是从面的垂直属性获得的,因此CD⊥PA与PA⊥PD结合,得到PA⊥平面PCD,因此平面PAB⊥平面PCD;

(II)取AB,CD中点M,N,连接MN,EN,ME,然后证明平面MNE∥平面PAD,所以在线段MN上点F,取AD的中点O,连接OP,到O创建一个空格原点的笛卡尔坐标系,找到平面PBC的法向量,并计算| cos <,> |的最大值。

典型的例子分析2:

如图所示,在四角锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PD⊥底面ABCD,PD=1,PB=PC=BC=√2,点E和F是PA和BC的中点分别。

(I)证明:EF∥PlanarPCD;

(II)证明:PB⊥CD;

(III)求出二面角A-PB-C的余弦。

证明:(I)取AD中点O,连接EO,FO,

点E和F分别是PA和BC的中点。

∴OE∥PD,FO∥CD,

∵OE∩FO=O,PD∩CD=D,

OE,FO?计划EOF,PD,CD?飞机PDC,

∴平面EOF∥平面PDC,

∵EF?计划EOF,

∴EF∥planePCD。

(II)在四边形金字塔P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PD⊥底面ABCD,PD=1,PB=PC=BC=√2,

∴PD⊥CD,PB⊥BD和BD=CD=√(2-1)=1,

∴BD2+ CD2=BC2,

∴BD⊥CD,

∵BD∩CD=d,

∴CD⊥PBD,

∵PB?平面PBD,

∴PB⊥PD。

解答:(III)以D为原点,DB为x轴,DC为y轴,DP为z轴,建立空间笛卡尔坐标系,

A(-1,1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,1),

测试现场分析:

二面角的平面角度及其找到方法;确定平行于平面的直线。

问题分析;

(I)取AD的中点O,连接EO,FO,并导出OE∥PD,FO∥CD,从而得到平面EOF∥平面PDC,它可以证明EF∥平面PCD。

(II)导出PD⊥CD,PB⊥BD和BD=CD=1,因此BD⊥CD,然后CD⊥PBD,这可以证明PB⊥PD。

(III)以D为原点,DB为x轴,DC为y轴,DP为z轴,建立空间直角坐标系。二面角A-PB-C的余弦可以通过矢量方法获得。